ВЕСЕЛКА

Пифагорейцы утверждали, что числа правят миром, а Александр Суворов называл математику «гимнастикой ума».

Сейчас интерес к этой науке постепенно возрождается. Мы поговорили с пятью известными математиками, чтобы разобраться, зачем формулы и уравнения нужны в повседневной жизни, почему математика — интересный и творческий предмет, и что теряет гуманитарий, отмахиваясь от этой науки.

«Тот, кто не знает математики, даже не может обнаружить своего невежества»

Сергей Ландо, доктор физико-математических наук, декан факультета математики НИУ ВШЭ

Как говорил мой учитель Владимир Игоревич Арнольд, «основной целью математического образования должно быть воспитание умения математически исследовать явления реального мира». Суть математики составляет изучение общих закономерностей, описывающих качественную природу окружающего нас мира, — смену времен года, расположения планет, изменение климата, колебания валютных курсов или стоимости нефти, развитие грамматик естественных или принципов конструирования искусственных языков. Математики разработали и развили разнообразные методы — вычислительные, алгебраические, геометрические, метод доказательных рассуждений, логического вывода. В некоторых случаях эти методы развиты настолько, что позволяют достичь глубинного понимания действующих закономерностей, в других это понимание — дело далекого будущего. Знание же закономерностей позволяет не только объяснять уже прошедшие события, но и предсказывать будущие.

Человек, который никогда не встречался с математическими рассуждениями, испытывает серьезные трудности с тем, чтобы отличить факт от его интерпретации, истинные утверждения от ложных, понять, какие следствия вытекают из того или иного утверждения. Человеком, неспособным прикинуть порядок числовых величин, могут легко манипулировать недобросовестные экономисты и политики. Как писал в 1267 году Роджер Бэкон, «Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества, а потому не ищет от него лекарства».

В наше время распространен такой подход — я не понимаю математики, физики, химии, биологии,…, поэтому пойду лучше учиться чему-нибудь гуманитарному. То есть человек с самого начала своей самостоятельной жизни соглашается на собственную ущербность, на заведомое отсутствие у себя некоторого, причем ценного, качества. Гуманитарным наукам это не идет на пользу. А хотелось бы, чтобы в гуманитарии шли люди с ярко выраженным интересом к тому, чем они хотят заниматься, к изучению человека и его деятельности. В естественных науках и математике такой интерес присутствует, по-моему, чаще. Люди осваивают их и впоследствии занимаются ими в силу внутренней потребности, вовсе не отрицающей других, в том числе гуманитарных интересов.

«Человек, который никогда не встречался с математическими рассуждениями, испытывает серьезные трудности с тем, чтобы отличить факт от его интерпретации и истинные утверждения от ложных»

Вы когда-нибудь пробовали описать прелесть живописного полотна человеку, который его никогда не видел? Это не вполне неразрешимая задача — если ваш собеседник имеет достаточный опыт посещения художественных галерей, хорошо знаком со многими шедеврами мировой живописи. Если же у слушателя такого опыта нет, нет и надежды, что он получит от описания положительные эмоции. Умение воспринимать красоту математики тоже требует постоянной — или по крайней мере регулярной — работы. Его можно развить у маленьких детей, начиная разговаривать с ними про математику еще до школы. Нередки случаи, когда эта красота открывается школьнику неожиданно. Изначально на достижение этого результата были направлены школьные математические олимпиады: через призму красивых задач и красивых решений показать небольшую часть спектра красивых идей, вызвать интерес и побудить пойти дальше.

Чтобы не оставаться голословным и дать конкретное представление о математической красоте, сообщу такой факт: если на план Москвы наложить ее другой, меньший план, то в Москве обязательно найдется место, которое на двух планах будет изображаться двумя точками, лежащими одна над другой — игла, проколовшая в этих точках два плана, будет указывать одно и то же место города. Понимаете ли вы, почему так происходит? Это утверждение служит началом большой и разветвленной математической теории и применяется в огромном количестве приложений. Оно остается верным в гораздо более общей ситуации — например, если второй план Москвы искажен или скомкан.

«Гуманитарные науки вступают в эпоху высокой точности»

Иван Аржанцев, доктор физико-математических наук, декан факультета компьютерных наук НИУ ВШЭ и Яндекса

Зачем нужна математика? Фраза Ломоносова о том, что «математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит», как нельзя лучше отражает суть дела. Слухи о чудаковатых ученых сильно преувеличены. Люди, разбирающиеся в математике, ценятся не только потому, что они обладают специальными знаниями, а скорее потому, что умеют думать и анализировать.

Если физикам, химикам, биологам нужны лаборатории, установки, расходные материалы, то математика — она всегда с тобой. Едешь, например, в поезде, взял бумажку и ручку или просто закрыл глаза и работаешь над решением какой-то задачи. Красоты в математике не меньше, чем в искусстве. Если же работа по математике тяжеловесная и запутанная, скорее всего автор либо взялся за «не ту» задачу, либо над решением еще нужно поработать. Доказательство теоремы — как сборка пазла. Крутишь так и сяк имеющиеся фрагменты, известные факты и методы доказательства, и когда вдруг все сложилось — вот это красота!

Самой математике нужны приложения. Они не только гарантируют ей право на существование, но и являются средой, которая генерирует новые сугубо математические задачи. Помимо приложений в естественных науках — физике, химии, биологии — математика все чаще используется в экономике, социальных и гуманитарных науках. Особую роль математические результаты играют в мире IT. Технологические прорывы часто основаны на принципиально новых алгоритмах и теоремах, подчас из весьма абстрактных областей математики.

В марте 2014 года открылся факультет компьютерных наук Вышки и Яндекса. К нам поступают ребята, которым интересны математика и программирование. Именно они через некоторое время смогут применить арсенал математических методов к задачам информационного поиска и компьютерного зрения, автоматической обработке текстов и биоинформатике, разработке комплексов программ и созданию интернет-сервисов. Одно из направлений Computer Science — это «новая математика» для работы с большими данными. То, чего здесь можно достичь, находится на грани фантастики.

Есть ощущение, что именно сейчас гуманитарные науки вступает в «эпоху точности». Речь идет не только о возможности строить все более точные математические модели различных процессов и обсчитывать эти модели на супермощных компьютерах. Новые технологии позволяют фиксировать и хранить точную информацию о самых разных реальных событиях. Вопрос только в том, что с этой информацией делать: собранные груды данных человек или даже научный коллектив не сможет проанализировать за многие годы. Идея современного анализа данных в том, что компьютерные системы и реализованные на них алгоритмы сами работают с полученными массивами информации и выдают пользователю только окончательный результат — интересующую его статистику и те или иные обнаруженные закономерности. Это позволяет не только с математической строгостью подтвердить или опровергнуть гипотезы из гуманитарной сферы, но и обнаружить зависимости, которые были неизвестны специалистам. Математически подкованные гуманитарии тут необходимы — они могут поставить задачу, объяснить, что за данные планируется собирать и какого сорта характеристики нас будут интересовать.

Недавно в Яндексе решили провести всероссийскую контрольную для всех, кто любит математику или, быть может, хотел бы полюбить, да как-то не складывалось: школьников, мам, пап, дедушек и бабушек. Задачи несложные, по базовой школьной программе — тем не менее, для успешного решения нужно быть внимательным. Тренировочные задания уже открыты на сайте — можно проверить свои силы.

Контрольная пройдет 14 марта, в день числа Пи. Поучаствовать в контрольной можно не только онлайн — в Москве задачи можно будет порешать в Вышке, ставшей партнером проекта. Проект поддержали вузы во многих регионах России: Екатеринбурге, Новосибирске, Казани и других. Очень рекомендую освободить час от субботы и присоединиться — особенно тем, кто боится математики. После контрольной преподаватели университета разберут задачи вместе с участниками проекта.

«Незнание математики грозит кашей в голове»

Алексей Савватеев, доктор физико-математических наук, эксперт отдела теоретических и прикладных разработок компании Яндекс, научный руководитель Лаборатории социального анализа при Университете Дмитрия Пожарского

Вот нынче идут споры о политике. Казалось бы, при чем здесь математика? Но при детальном изучении ситуации ясно, что у гуманитариев, не знакомых с азами математики, в голове не мнение, а «каша». Они ни на чем не могут сфокусироваться, перепрыгивают с одной аргументации (беспорядочной и зачастую противоречивой) на другую. И это с каждой из воюющих сторон. У человека, понимающего математику, в голове порядок, все по местам. Он свою позицию прорабатывает, на мякине его не проведешь. Итак, незнание математики грозит кашей в голове.

Гуманитариев нужно учить красивой математике — картинки, картинки и еще раз картинки. Они сразу должны заставлять работать головой: думать, сопоставлять, сравнивать и делать выводы. Не просто созерцать красивые математические построения, а быть их активным со-устроителем, видеть, с какой целью делается то или другое, понимать простые логические переходы.

Затем, на следующей стадии, можно уже переходить к абстрактным понятиям и терминам — как ни странно, они лучше даются гуманитариям, нежели прожженым и упертым технарям! Вполне можно порешать разные диофантовы уравнения, поговорить о комплексных числах, о числовых системах (кольцах, полях) и как они помогают в решении задач. Вполне доступен уже на ранних стадиях постижения математики анализ задач на построение, что можно и что нельзя построить циркулем и линейкой. Вообще, я бы посоветовал любому гуманитарию освоить книгу Куранта и Роббинса «Что такое математика».

В чем заключается красота математики? Найдите геометрическое доказательство теоремы Пифагора — и вы поймете!

«Эта наука учит нас тому, что нерешаемые с виду задачи можно решить»

Дмитрий Ветров, кандидат физико-математических наук, руководитель департамента больших данных и информационного поиска факультета компьютерных наук ВШЭ

В век информационных технологий все чаще раздаются голоса, что сколько-нибудь серьезное знание математики специфично и среднестатистическому человеку не особенно-то и нужно. Многие считают, что уже навыки деления, скажем, семизначного числа на четырехзначное или сложения двух дробей излишни — ведь все это можно проделать на смартфоне. Что уж говорить об умении решать логарифмические неравенства, алгебраические и дифференциальные уравнения, задачи трехмерной геометрии (стереометрии) и прочую «высшую математику»?

Есть два принципиальных аргумента против такой позиции. Во-первых, не столь уж тривиальная математика нужна нам уже в быту. Например, чтобы решить простую задачу («В одной из динамично развивающихся африканских стран инфляция составляет 32 млн. процентов в год. Вопрос: на сколько процентов в этой стране растут цены в день?» Ответ многих удивит своей малостью [1]), нужно умение составлять и решать уравнения с логарифмами. Без этого не рассчитать, под какой процент нужно положить 5 тысяч долларов в банк на счет родившегося сына, чтобы через 18 лет он смог получить 25 тысяч, или что лучше: вложить наши сбережения так, что они будут увеличиваться на 6% каждые полгода, на 13% каждый год, или 27% каждые два года? Пожалуй, еще более животрепещущая (на март 2015 г.) тема: в какой валюте лучше держать свои сбережения — в рублях (банки обещают высокий процент), в долларах или в евро? Интуиция подсказывает верный ответ (во всех валютах понемножку), но вот для того, чтобы правильно выбрать пропорции, необходимо обладать простейшими знаниями в теории риска. На совещаниях на работе нам часто приходится делать выбор, какую из различных точек зрения поддержать, к какой группе сторонников примкнуть. Сделать это с наибольшей выгодой для себя позволяет теория игр. Она же дает ответ на вопрос, какую зарплату можно смело потребовать, если тебя пытаются переманить к себе конкуренты, не боясь продешевить или потерять выгодное предложение.

[1] В день инфляция в этой африканской стране составляла «всего» 4%. Несмотря на кажущуюся малость, к концу года в стране закончилась бумага для печатания все новых и новых банкнот. Таковы коварные свойства экспоненты.

Во-вторых, математика (даже школьная) учит логически мыслить. Понимать, что из чего следует, а что нет (например, из того, что у нас в холодильнике есть селедка, следует, что у нас там есть и рыба. Но из того, что у нас в холодильнике рыба, вовсе не следует (хотя и может быть), что у нас там селедка). Едва ли не единственная школьная дисциплина, которая учит рассуждать, является геометрия. Но это только вершина айсберга. На самом деле вокруг нас существуют и более тонкие закономерности, выходящие за пределы обычной логики, оперирующей понятиями «истина» — «ложь» — «неизвестно». Например, научно установлено, что между длиной волос человека и его ростом существует отрицательная корреляция (стохастическая зависимость), то есть, если взять случайного гражданина России и сообщить нам, что у него короткие волосы, мы сможем с высокой вероятностью утверждать, что его рост выше среднего. Теперь вы узнаете, что у меня короткие волосы. Дает ли это вам какую-то дополнительную информацию о моем росте? Правильный ответ нет [2].

[2] Про меня известно, что я мужчина, а про случайного жителя РФ нет. Корреляция между ростом и длиной волос существует пока неизвестен пол человека (женщины, в среднем, ниже мужчин и имеют более длинные волосы). Как только пол становится известным, взаимосвязь между длиной волос и ростом исчезает. Данное явление известное как условная независимость (conditional independence), лежит в основе целой теории вероятностных графических моделей, активно применяющихся в задачах анализа текстов, изображений, видео, социальных сетей, и пр.

И таких примеров очень много (например, существует ли взаимосвязь между ценой помидоров в супермаркете и их качеством или взаимосвязь между джинсами определенной марки и моей привлекательностью в глазах девушек; стоит ли проходить платный диагностический тест, дающий правильный ответ в 90% случаев для определения болезни, встречающейся у одного из десяти тысяч человек [3]). Для понимания, когда взаимосвязи существуют, а когда это ложные корреляции, порожденные неучтенными факторами, нужно иметь представления об основах теории вероятностей и теореме Байеса. Ну или хотя бы развитый здравый смысл и твердую четверку по геометрии.

[3] Не стоит. Даже если тест выдаст положительный результат, в 999 случаях из тысячи, это будет ложная тревога. Сказанное, разумеется, не относится к ситуации, когда имеются веские основания предполагать наличие редкой болезни, например, ее симптомы.

Современная математика покрывает гораздо более широкий круг вопросов, выходящий далеко за рамки бытовых. Крупнейшие поисковые системы, благодаря которым вы, возможно, и читаете данную статью, напичканы математическими моделями, которые позволяют подстраивать параметры выдачи результата нашего поискового запроса под конкретного пользователя. Иными словами, на один и тот же запрос Google мне выдаст одни ссылки, а вам другие просто потому что, мы зашли в браузер под разными gmail аккаунтами. Сложные математические модели используются инвестиционными фондами, которые распоряжаются нашими сбережениями; онлайн-магазинами, которые рекомендуют нам те или иные товары; светофорами, которые уменьшают вероятности возникновения пробок на улицах благодаря постоянной корректировке своего режима; и многих других технологиях, окружающих нас.

Активнейшее применение находят математические методы и в современных естественных и гуманитарных науках. Обработка данных с Большого адронного коллайдера породила целую отрасль математики, т.н. анализ больших данных (big data). Биологи используют сложные математические методы для восстановления эволюционного дерева по остаткам геномов и органов вымерших особей. Химики осуществляют поиск перспективных для будущего синтеза полимеров, используя алгоритмы математического моделирования. Искусствоведы определяют с помощью математики авторов анонимных литературных произведений и художественных полотен. Наконец, нельзя не отметить революцию в области математических методов машинного обучения, которая происходит на наших глазах. С появлением и успешным применением глубинных нейронных сетей (deep neural networks) человечество стало стремительно приближаться к созданию искусственного интеллекта. Уже сейчас старшеклассник, умеющий программировать, может самостоятельно построить новую нейросетевую модель, которая сможет решить очередную задачу (например, синтеза музыки, понимания изображений, и пр.), считавшуюся ранее подвластной только человеческому интеллекту.

Математика постоянно учит нас тому, что кажущиеся нерешаемыми задачи можно решить, если перейти на новый уровень мышления. Мы делим четыре на семь, вычитаем из двух девять, оперируем с иррациональными числами, сталкиваемся с тем, что у одного уравнения может быть много решений, хотя каждый раз приходится преодолевать некоторый разрыв шаблона. Изучение математики помогает понять, что многие истины, которые мы привыкли считать абсолютными, на самом деле относительны, а многое из того, что нам казалось имеющим разную природу, на самом деле частные случаи одного и того же явления только под другим углом зрения. Такие эффекты наблюдаются не только в математике и ее приложениях, но и, например, в политике.

«Глобальное удаление математики из общества приведет к катастрофе»

Роман Михайлов,доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник СПбГУ

Адам дает имена животным. С этого начинается математика. Он занимается классификацией, установлением порядка. Перед ним сложный подвижный мир, он хочет найти в нем порядок, предъявить соответствие: «животное» — «имя».

В известном советском мультфильме козленок учится считать. Он бегает и считает друзей-животных. Некоторые возмущаются, не хотят, чтобы их считали. А он счастлив от этой абстрактной игры. Он занимается математикой.

Вот некоторые из направлений современной математики:

— Классификация сложных объектов, явлений, отношений. Есть объекты, которых много, даже бесконечно много, нужно их классифицировать, научиться различать: грубо, тонко, хоть как.

— Выявление аномальных структур, не вписывающихся в общие гладкие классификации. Есть ли животные в лесу, которым не подходят обычные имена или которых нельзя посчитать?

— Работа с бесконечностью. Огромная часть математики занимается асимптотиками, часто оказывается, что работать «далеко» проще, чем «близко». Есть даже машины, прикрепленные к бесконечному потолку, есть машины, работающие «за бесконечностью».

— Поиск языка для разговора с глубинной природой. Установление всевозможных связей, создание словарей, установление эквивалентностей категорий.

«Крупнейшие поисковые системы, благодаря которым вы, возможно, и читаете данную статью, напичканы математическими моделями»

Часто приходится слышать вопросы о пользе обществу абстрактной математики, люди упоминают еще налогоплательщиков, пытаются понять, какую непосредственную радость обществу может принести то, что мы делаем. Например, следующее.

Современность дала нам возможность быстро бегать по тексту, исследовать текст новыми методами. За доли секунд можно посчитать количество слов в тексте, определить их распределение, увидеть стандартные закономерности в конструкциях фраз. Однажды мы научимся смотреть на литературный текст как на топологическое пространство, изучать его с точностью до деформаций, исследовать его мягкую природу. Сейчас текстологи применяют методы статистики для своих исследований, но статистика дает лишь ритм, пульс текста, не более. Начинает казаться, что те языки, которые мы развиваем годами, однажды найдут-таки применение. Но не в физике или ракетостроении, а в психиатрии, психолингвистике, в качественных исследованиях архитектуры бреда, в теории сознания, в склейках внутренних узоров. И как перед нами лежало сложное пространство, так перед нами будет лежать и сложная шизофрения, и будет ясно, что существует лишь тысяча шизофрений с данными «гомологиями». Попробуйте написать длинный бредовый текст. Хороший анализ покажет, что это имитация. Там предложения будут чудными, но склейки либо будут отсутствовать вовсе, либо их будет мало. Окрошку изучать неинтересно. Интересно изучать сложный бред и пытаться качественно отличать его от небреда. Да, считаю, что текстология однажды применит наши топологические методы, заговорит со сложными текстами на тех языках, что мы развили.

Конечно, изучать математику необязательно. Практически никто из моих друзей юности не умел складывать дроби. Ну и? Некоторые стали уважаемыми людьми. Могут встретиться с профессором философии и вполне четко ему растолковать, кто он и что он и кто прав. Но при этом глобальное удаление математики из общества повлечет катастрофу — вскоре природа проявит какой-нибудь очередной свой лик, а человек не будет владеть языком, на котором с ним нужно говорить, и не будет знать метода построения такого языка.

О красоте математики не очень хочу рассуждать. Возьмите клетчатую тетрадку, нарисуйте свои сны, свяжите близкие образы в этих снах поверхностями, раскрасьте это разными цветами — это красиво, попробуйте качественно отличить конфигурации связок во снах, которые пришли в новую луну. Если отличите — это обязательно будет красиво, можно будет вам позавидовать. Это тайная красота.